Menü Kapat

Cos2x Açılımı

Cos2x Açılımı

Trigonometride bazı temel eşitlikleri ve açılımları bilmek işimizi çok kolaylaştıracaktır. Yarım açı formülleri olarak bilinen sin2x ve cos2x açılımları bunlardan en önemlileridir. Daha önceki yazımızda sin2x açılımı üzerinde durmuştuk. Burada ise cos2x açılımı üzerinde duracağız.

Sin2x=2.sinx.cosx şeklindedir. Cos2x açılımı ise bundan tamamen farklılık gösterir.

Cos2x = cos2x – sin2x olur. Bu eşitlik çok ama çok önemlidir.

Burada soruya göre iki kare farkı uygulayabiliriz. Bu durumda cos2x = (cosx – sinx).(cosx + sinx) olacaktır. Bazı sorularda bu tür sadeleştirmelere ihtiyaç duyabiliriz.

Cos2x Açılımının Basit İspatı

Cos2x formülünün birden çok ispatı bulunur. Geometri bilgiyle dahi ispat yapılabilir. Burada en basit trigonometrik ispatı göstereceğiz.

Toplam fark formüllerinden kosinüs toplam formülünün cos(x + y) = cosx.cosy – sinx.siny olduğunu biliyoruz. Şimdi burada y yerine de x yazalım. Bu durumda cos(x + x) = cosx.cosx – sinx.sinx olacağından cos2x = cos2x – sin2x olur.

Toplam fark formülleri ile yarım açı formülleri trigonometrik eşitlikler içerisinde en önemlileridir. Bu iki formül grubunu bilirseniz gerisini rahatlıkla çıkarabilirsiniz.

cos2x açılımı

Diğer Cos2x Açılımları

Sin2x açılımında tek bir formül veriyoruz. Ancak cos2x açılımında 3 adet formül verebilmekteyiz. Bu üçünü de ezberleyebilirsiniz. Ancak ezberlemeseniz dahi birinden diğerini elde edebilirsiniz.

  1. Cos2x = cos2x – sin2x
  2. Cos2x = 2cos2x – 1
  3. Cos2x = 1 – 2sin2x

Bunlardan ilkini yukarıda verdik zaten. En önemlisi de ilkidir. Diğer ikisi de ilkinden gelmektedir. Şöyle ki:

Trigonometride sin2x + cos2x = 1 bağıntısı bulunmaktadır. Açılar aynı olduğu taktirde bu bağıntı geçerli olur. Ayrıca birçok soruda işimize yarar.

Şimdi bu açılımda sin2x yalnız bırakılırsa sin2x = 1 – cos2x olur. İlk açılımda sin2x yerine 1 – cos2x yazarsak da cos2x = cos2x – (1 – cos2x) = cos2x – 1 + cos2x = 2cos2x – 1 olur.

Açılımda cos2x yalnız bırakılırsa cos2x = 1 – sin2x olur. Yine ilk açımda cos2x yerine 1 – sin2x yazarsak cos2x = 1 – sin2x – sin2x = 1 – 2sin2x olur.

Cos2x Açılımıyla İlgili Örnek Sorular

Açılımın üç formülünü de basitçe verdik. Şimdi birkaç örnek soru çözerek açılımın daha iyi oturmasını sağlayalım.


Örnek #1: Cosx = 3/5 olduğuna göre cos2x kaç olur?

Çözüm: Cos2x’in bulunması için cosx ve sinx’e ihtiyaç vardır. Bir üçgen çizdiğimiz zaman cosx’in 3/5 olması için sinx = 4/5 olmalıdır (3 – 4 – 5 üçgeni).

Cos2x = cos2x – sin2x ⇒ Cos2x = (3/5)2 – (4/5)2 = 9/25 – 16/25 = -7/25 olur.


Örnek #2: Cos2x/(cosx – sinx) ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm: Cos2x = cos2x – sin2x olur. İki kare farkını uygularsak cos2x = (cosx – sinx).(cosx + sinx) şeklinde açılabilir. (cosx – sinx).(cosx + sinx)/(cosx – sinx) = cosx + sinx bulunur.


Örnek #3: cos415 – sin415 ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm: İki kare farkı uygulayalım. cos415 – sin415 = (cos215 – sin215)(cos215 + sin215) olur. (cos215 + sin215) = 1 olur. Çünkü aynı açının sin ve cos karelerinin toplamı kural olarak 1’dir.

Öyleyse cos415 – sin415 = (cos215 – sin215) olur. (cos215 – sin215) ifadesi ise yarım açı formülünden (cos215 – sin215) = cos30 olur. 30 özel bir açıdır ve cos30 = √3/2 şeklindedir.


Bol miktarda trigonometri sorusu çözerek cos2x açılımıyla ilgili pratik yapabilirsiniz.


Gönderiye Yorum Yap