Düzgün dörtyüzlünün alanı ve hacmi nasıl hesaplanır? Düzgün dörtyüzlünün alan, hacim formülleri, örnek sorular ve çözümleri.

Düzgün Dörtyüzlünün Alan ve Hacmi

Bir ayrıtının uzunluğu a birim olan düzgün dörtyüzlünün, alanı, displaystyle A={{a}^{2}}sqrt{3}

birimkare, hacmi ise, displaystyle V=frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{12} birimküptür.

Bir kenarı a birim olan eşkenar üçgenin alanı, displaystyle V=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}

tür.

Bir düzgün dörtyüzlüde birbirine eş dört tane eşkenar üçgen olduğundan, alanı, displaystyle A={{a}^{2}}sqrt{3}

birimkare olur.

Bir piramidin hacmi taban alanı ile cisim yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir. Buna göre, taban alanı, displaystyle frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}

, yüksekliği displaystyle frac{asqrt{6}}{3} olan düzgün dörtyüzlünün hacmi, displaystyle V=frac{1}{3}.frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}.frac{asqrt{6}}{3}displaystyle V=frac{{{a}^{2}}sqrt{2}}{12} birimküp olur.


Örnek:

Bir ayrıt uzunluğu 3 cm olan düzgün dörtyüzlünün alanını ve hacmini bulalım.

Çözüm

Bir kenarı a = 3 cm olan düzgün dörtyüzlünün alanı,

displaystyle {{a}^{2}}sqrt{3}={{3}^{2}}sqrt{3}=9sqrt{3}c{{m}^{2}}

olur.

Hacmi ise,

displaystyle frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{12}=frac{{{3}^{3}}sqrt{2}}{12}=frac{27sqrt{2}}{12}=frac{9sqrt{2}}{4}c{{m}^{3}}

olur.


NOT:
Bir kenarı a birim olan düzgün sekizyüzlünün,

alanı; displaystyle A=2{{a}^{2}}sqrt{3}

birimkare
hacmi; displaystyle V=frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{3} birimküp olur.

Düzgün dörtyüzlünün yüksekliği, yani P ve T tepe noktaları arasındaki uzaklık, displaystyle text{PT }!!|!!text{ =}asqrt{2}

birimdir.

Örnek:

Alanı displaystyle 72sqrt{3}c{{m}^{2}}

olan düzgün sekizyüzlünün hacmini bulalım.

Çözüm

Düzgün sekizyüzlünün bir ayrıt uzunluğuna a dersek, alanı displaystyle 2{{a}^{2}}sqrt{3}

olduğundan,
displaystyle 2{{a}^{2}}sqrt{3}=72sqrt{3}
displaystyle {{a}^{2}}=36Rightarrow a=6cm olur.

Bir kenarı 6 cm olan düzgün sekizyüzlünün hacmi,
displaystyle Hacim=frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{3}=frac{{{6}^{3}}sqrt{2}}{3}=72sqrt{2}c{{m}^{3}}

bulunur.