Menü Kapat

Sin2x Açılımı

Sin2x Açılımı

Trigonometrinin matematiğin en önemli konularından biri olduğunu hepimiz biliyoruz. Bu yazıda trigonometri dersine çok ama çok işimize yarayacak bir açılım üzerinde duracağız. Sin2x açılımı denilen bu açılım yarım açı formüller trigonometride hayat kurtarır.

Sin2x = 2.sinx.cosx eşitliği bulunmaktadır. Bu açılımı her açı için açının yarısını alacak şekilde kullanabiliriz.

Örnekle pekiştirelim: Sin40 = 2.sin20.cos20 olur.

Bazen soruda bize bir açı verip onun yarısının ya da iki katının sinüs değerini istediğinde bu formülü rahatlıkla kullanabiliriz.

sin2x açılımı

Sin2x Açılımının İspatı

Sin2x açılımının birden fazla ispatını yapmak mümkündür. Ancak önemli olan açılımı çok iyi öğrenmektir.

1. İspat

Öncelikle bildiğimiz değerler üzerinde bir ispat yöntemi uygulayalım. 30, 45, 60 gibi ölçülerin trigonometrik değerlerini zaten biliyoruz.

Buna göre Sin60 = √3/2, Sin30 = 1/2 ve Cos30 = √3/2 olduğunu zaten biliyoruz.

Açılıma göre sin60 = 2.sin30.cos30 olmalıdır. Öyleyse √3/2 = 2.(1/2).√3/2 olmalıdır. İşlemler yapıldığında bunun sağlandığını görürüz.

Bu ispatı aynı zamanda 90 ve 45 derece ölçüleriyle kendiniz de deneyebilirsiniz.

2. İspat

Toplam fark formüllerini biliyorsanız bu ispatı da kullanabiliriz. Bildiğiniz gibi sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb formülü sinüsün toplama formülüdür.

Bu formülde a ve b’nin her ikisi yerine de x yazarsak sin(x + x) = sin2x = sinx.cosx + cosx.sinx = 2.sinx.cosx bulunur.

Bu ispat yöntemini takip ederek aynı şekilde cos2x açılımını da kendiniz elde edebilirsiniz. Bu şekilde ispat yaptığınızda hem formülü daha iyi kavrar hem de formülün birini unuttuğunuzda diğerini elde edebilirsiniz.

Geometri kullanarak da sin2x açılımının ispatını yapabilirsiniz. Ancak yukarıda kullandığımız 2 ispat yöntemi yeterli olacaktır. Trigonometri konu anlatımı kısmından daha detaylı bilgi sahibi olabilirsiniz.

Sin2x Açılımıyla İlgili Örnekler

Birkaç örnek soru çözerek öğrendiğimiz formülü pekiştirelim.


Soru #1: Sin80/(sin40.cos40) ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm: Sin80 ifadesini 40 derece olacak şekilde açarsak 2.sin40.cos40 elde edilir. sin40.cos40/sin40.cos40 sadeleşeceği için cevap 2 olur.


Soru #2: sinx + cosx = 4/5 olduğuna göre sin2x kaçtır?

Çözüm: sinx + cosx ifadesinin karesini alalım. (sinx + cosx)2 = sinx2 + cosx2 + 2.sinx.cosx = (4/5)2 elde edilir.


Kural olarak sinx2 + cosx2 = 1 eşitliği olduğuna göre 1 + 2.sinx.cosx = 16/25 bulunur. Burada 2.sinx.cosx = sin2x olduğundan 1 + sin2x = 16/25 elde edilir.

Denklemi çözmek için 1’i karşıya atıyoruz: sin2x = 16/25 – 1 = 9/25 bulunur.


Sorı #3: Cos2a.sina.cosa = 2/9 olduğuna göre sin4a ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm: sin2a = 2.sina.cosa olduğu için sina.cosa ifadesinin yerine sina/2 yazabiliriz. Öyleyse (cos2a.sin2a)/2 = 2/9 olur. 2’yi karşı tarafa çarpma olarak atarsak cos2a.sin2a = 4/9 bulunur.

Sin4a = 2.cos2a.sin2a eşitliğinden sin4a = 2.(4/9) bulunur. Buradan da sin4a = 8/9 elde edilir.


Gönderiye Yorum Yap